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EntartungZoomA-Z

Fachgebiet - Mathematik, Quantenphysik

Allgemein versteht man in der Mathematik unter Entartung einen speziellen Grenzfall eines andersartigen mathematischen Objektes. So ist z.B. der Punkt sowohl eine entartete Strecke (der Länge 0), als auch ein entartetes Quadrat (der Seitenlänge 0), als auch ein entarteter Würfel (der Kantenlänge 0).

In der Gleichungslehre versteht man unter Entartung die Vielfachheit einer Lösung. Die Anzahl der Lösungen zu ein und demselben Wert bezeichnet man dann als Grad der Entartung. So hat z.B. die Gleichung

x2ε2=0L={ε,ε}

genau zwei Lösungen, die im Grenzfall ε0 zu einer Lösung entarten (sprich: Die Lösung x=0 ist zweifach entartet).

Analog dazu bezeichnet man die Vielfachheit der Lösungen eines Eigenwertproblems zum gleichen Eigenwert als Entartung, d.h. gibt es zu einem Eigenwert Ein linear unabhängige Eigenvektoren, dann ist der Eigenwert Ein-fach entartet. Jede Linearkombination der Eigenvektoren zu diesem Eigenwert ist dann ebenfalls Lösung der Eigenwertgleichung zu diesem Eigenwert.

In der Quantentheorie liefern beispielsweise die Eigenfunktionen |Ψn,l,m der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoff-Atom zu gleichem n den gleichen Energieeigenwert En. Die Lösungen sind somit (2l+1)-fach entartet.

Lerneinheiten, in denen der Begriff behandelt wird

Eigenwerte einer MatrixLevel 145 min.

MathematikLineare AlgebraMatrixeigenwertprobleme

Was Eigenwerte einer Matrix sind und ihre Bestimmung werden ausführlich behandelt (Eigenwertproblem einer Matrix).