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EigenwertproblemZoomA-Z

Fachgebiet - Mathematik, Theoretische Chemie

Wirkt in einem linearen Vektorraum ein Operator A^ dergestalt auf einen Vektor |a, dass sich nicht dessen Richtung, sondern nur sein Betrag ändert,

A^|a=α|a

bezeichnet man das Problem als Eigenwertproblem. Die zugehörigen Vektoren |a heißen Eigenvektoren und die Streckungsfaktoren α Eigenwerte zum Operator A^.

Durch Darstellung der Eigenvektoren in einer vollständigen, orthonormierten Basis χ lässt sich ein Eigenwertproblem auch in Matrizenschreibweise formulieren:

Aa=αa

Die Matrix A und der Vektor a sind die Darstellungen von A^ und |a in der Basis χ.

Dabei gilt:

  • Die Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind stets reell.
  • Ist die Matrix A^ symmetrisch und positiv definit, so sind die Eigenwerte stets größer 0.

Eigenwertprobleme haben in der theoretischen Chemie eine fundamentale Bedeutung. So ist die Schrödinger-Gleichung

H|Ψ=E|Ψ

ein typisches Eigenwertproblem. Die Eigenwerte E sind die Energieniveaus des Systems im Zustand |Ψ.

Lerneinheiten, in denen der Begriff behandelt wird

Quantenmechanik: Hermite'sche OperatorenLevel 245 min.

ChemieTheoretische ChemieQuantenmechanik

Die Begriffe Hermite'scher Operator, Observable und Erwartungswert werden definiert. Das Eigenwertproblem wird eingeführt, und die Vorgehensweise bei der Lösung eines Matrixeigenwertproblems beschrieben.